前置き

これまでにお見せしたとおり、マンデルブロ集合の式

\(Z_{n+1}=Z_n+C\)

からは驚くほど複雑な図形が生まれてきます。

上の式と図形がどう関わっているのか、なぜこのように複雑な図形が描けるのかなどを、数ページに渡り説明していきます。

このページでは、前提知識として必要な虚数と複素数について説明します。

高校の数Ⅱ~数Ⅲの内容に踏み込みますが、中学3年生ぐらいから理解できるような内容となっています。

主に使うのは、中学3年生の展開の計算や、平方根、二次方程式などの知識です。

虚数について

さて、次の方程式を考えてみましょう。

\( x^2=-1\)

この方程式の解についてしばらく考えてみると、これを満たすxは存在しないことが分かります。

上の式を文章で表すと、2乗してマイナス1になる数は何か、という問いになります。

\( 2^2=4\)

\( (-1)^2=1\)

\( (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}\)

思いつくまま適当に計算してみましたが、少し考えてみても、2乗してマイナスになる数は思いつきません。

今までに知っている 整数や分数小数、負の数、無理数(まとめて実数と呼ぶのでした)の中には、2乗してマイナスになる数はなさそうです。

仕方ないので、新しく2乗するとマイナスになる数を作ることにしましょう。

この数を虚数(虚数単位)と名づけ、アルファベットのiを使って表します。

この虚数iについて、

\( i^2=-1\)

が成り立ちます。

虚数単位

虚数単位というのは、この数iが新しい数の基準になっているという意味です。

これまでの数では、1の2倍大きい数は2でした(当たり前の話ですね)。

これまでの数では1が基準になっています。

虚数では、虚数単位iより2倍大きい数は2i、3倍大きい数は3iなどと表します。

虚数の計算

この虚数iは文字と同じように扱うことができ、

\( i+i=2i\)

\( 5i+3i=8i\)

\( -10i+2i=-8i\)

などと計算することができます。

ただ、かけ算のときは文字と違い、\(i^2=-1\)を使って計算しなければいけません

例えば2iを2乗すると、

\( (2i)^2=-4\)

となります。

割り算は文字と同じく、

\( 3i/4i=\frac{3}{4}\)

などと計算できます。

虚数iを基準として、新しい数を表すことができるようになりました。

これで、数の世界が今までよりも広がったことになります。

複素数について

この虚数を使い、さらに新しい数を考えてみましょう。

実数と虚数を組み合わせ、

\( x+iy\)

という数を考えてみます。

この数を複素数と呼びます。

x,yには、5,-2.1,\(\frac{6}{11}\),\(\sqrt{7}\)などの実数が入ります。

複素数は実数xと複素数iy(iかけるy)を足した形になっています。

実数の部分xを実部、虚数の部分iyを虚部と呼びます。

次のページでは、この複素数の四則演算を考えてみましょう。