エノン・ハイレス(henon-heiles)ポテンシャルのポアンカレ断面図のページで説明した通り、エノンハイレスポテンシャルとは、

$$U(x,y)=\frac{1}{2}k(x^2+y^2)+x^2y-\frac{1}{3}y^3$$

で表されるポテンシャルのことでした。

このポテンシャルを利用して、下の画像の顔のような模様を描けるという話をしました。

描き方については上で紹介したページをご覧ください。

さて、このページでは、質点を運動させるときのエネルギーを変えて、同じように模様を描いてみましょう。

ちなみに、上の顔の画像はエネルギーの大きさが\(E=0.125\)です。

とりあえず、エネルギーを小さくしてみましょう。

\(E=0.08\)としてみると、下のような画像が描けます。

最初の \(E=0.125\) のときよりサイズが小さくなりました。

エネルギーを小さくしたので、\(x=0\)を通るときのy座標と速度\(V_y\)の最大値が小さくなったのだと理解できます。

目や口のような模様が、顔全体に対して大きくなっているのも見て取れます。

つぎは、最初の顔の画像よりも少しだけエネルギーを小さくして、 \(E=0.11\)とします。

やはり、顔のサイズは \(E=0.125\) のときより小さいです。

その代り、目や口の顔を占める割合は大きいです。

次は、エネルギーを \(E=0.14\) とします。

最初の \(E=0.125\) より大きい値です。

顔のサイズは大きくなり、目や口は顔に対して小さくなっています。

最後に、 \(E=0.15\) としてみます。

目のような模様がなくなってしまいました。

さらに、エネルギーが小さい時には目や口以外の模様も見えましたが、今回は2つの穴以外は特徴的な模様がなくなりました。

これ以上エネルギーを上げていくと、ポアンカレ断面図が描けなくなってしまいます。

エノン・ハイレスポテンシャルは、下の画像の通り、真ん中におにぎり形のくぼみがあります。

このくぼみの中で質点を運動させると顔のような模様が描けるのでした。

ところが、エネルギーを上げ過ぎてしまうと、質点がくぼみから飛び出してしまいます。

そうすると質点がくぼみに戻らず、模様が描けなくなります。